$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Inégalité triangulaire

L'inégalité triangulaire est d'abord une inégalité concernant les triangles dans le plan. Si $ABC$ est un tel triangle, alors on a $$AB\leq AC+CB.$$ Autrement dit, pour aller de $A$ à $B$, il est plus court de suivre la droite $(AB)$ que de suivre la droite $(AC)$ jusque $C$, puis la droite $(CB)$.

Par extension, d'autres résultats du même type portent le nom d'inégalité triangulaire. Par exemple, si $x$, $y$ sont deux réels, alors $$|x+y|\leq |x|+ |y|$$ avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ ont le même signe. Si $E$ est un espace vectoriel normé et $x,y$ sont des éléments de $E$, alors on a $$\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.$$ Lorsque $E$ est un espace préhilbertien, on a égalité si et seulement s'il existe $\lambda\in\mathbb R_+$ tel que $y=\lambda x.$

On appelle parfois deuxième inégalité triangulaire la relation suivante, que l'on déduit facilement de l'inégalité triangulaire classique : si $E$ est un espace vectoriel normé et $x,y$ sont des éléments de $E$, alors $$\big|\ \|x\|-\|y\|\ \big|\leq \|x-y\|.$$ Enfin, dans un espace métrique $(E,d)$, l'inégalité triangulaire est la relation $$d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y),$$ vraie pour tous $x,y,z\in E.$

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