Inégalité d'Hadamard

Soit $M\in\mathcal M_n(\mathbb C)$ dont les vecteurs colonnes sont $X_1,\dots,X_n$. On note $\|X_i\|_2$ la norme euclidienne de $X_i$. Précisément, $$\textrm{si }X_i=\begin{pmatrix} a_1\\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}\textrm{ alors }\|X_i\|_2=\sqrt{|a_1|^2+\cdots+|a_n|^2}. $$

Dans le cas où aucun des $X_i$ n'est nul, on a égalité si, et seulement si, les vecteurs $X_1,\dots, X_n$ sont orthogonaux deux à deux.

La démonstration de cette inégalité n'est pas très difficile. Effectuons la pour une matrice réelle. Si les vecteurs colonnes $(X_1,\dots,X_n)$ sont liés, le déterminant est nul et l'inégalité est triviale. Sinon, $(X_1,\cdots,X_n)$ forme une base de $\mathbb R^n$ auquel on peut appliquer le procédé de Schmidt pour obtenir une base orthonormale $(U_1,\cdots,U_n)$ tel que pour tout $p\in\{1,\dots,n\}$, $$\textrm{vect}(X_1,\cdots,X_p)=\textrm{vect}(U_1,\dots,U_p).$$ Si $P$ est la matrice de passage de $(U_1,\cdots,U_n)$ à $(X_1,\cdots,X_n)$, $P$ est une matrice triangulaire supérieure. Remarquons que $M$ est la matrice de passage de la base canonique $(e_1,\cdots,e_n)$ à $(X_1,\cdots,X_n)$, et notons $B$ la matrice des vecteurs colonnes $(U_1,\cdots,U_n)$. Les formules de changement de base donnent $M=BP$. D'autre part, $B$ est une matrice orthogonale (c'est une matrice de passage d'une base orthonormale à une autre), et en particulier, |det(B)|=1. On a donc : $$|\det(M)|=|\det(P)|=|p_{1,1}|\cdots |p_{n,n}|$$ puisque $P$ est triangulaire supérieure. Mais, $$|p_{i,i}|=|\langle X_i,U_i\rangle|\leq \|X_i\|_2$$ et ceci achève de prouver le résultat.

Géométriquement, l'inégalité exprime que, pour des côtés de longueur donnée, un parallélépipède est de volume maximal s'il est rectangle.