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Ordre inductif

Soit $(E,\leq)$ un ensemble ordonné. On appelle chaîne de E toute partie totalement ordonnée. On dit que l'ordre est inductif si toute chaîne de E admet un majorant dans E.

Exemples :

  • si $X$ est un ensemble, $(\mathcal P(X),\subset)$ est un ordre inductif. En effet, si $\mathcal C$ est une chaîne pour cet ensemble, alors $A=\bigcup_{C\in \mathcal C}C$ est un majorant de $\mathcal C$ qui est bien élément de $\mathcal P(X).$
  • $(\mathbb R,\leq)$ n'est pas un ordre inductif : $I=[1,+\infty[$ est une partie totalement ordonnée de $\mathbb R,$ mais qui n'admet pas de majorant dans $\mathbb R.$
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