Indicateur d'Euler
Soit un entier $n\geq 1$. On appelle indicateur d'Euler de $n$ l'entier $\phi(n)$ défini par : $$\phi(n)=\textrm{card}\{1\leq k\leq n;\ k\textrm{ est premier avec }n\}.$$ Pour $n\geq 2,$ $\phi(n)$ est aussi le cardinal de $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^*$, l'ensemble des éléments inversibles de l'anneau $\mathbb Z/n\mathbb Z$.
Le théorème suivant doit donc être compris comme une extension du petit théorème de Fermat.
Théorème (Euler) : Soit un entier $n\geq 1$. Si $k\in\mathbb Z$ vérifie $k\wedge n=1$, alors
$$k^{\phi(n)}\equiv 1\ [n].$$
Le calcul de l'indicateur d'Euler est donc important. Voici quelques propriétés permettant de le calculer :
- Si $p$ est premier et $\alpha\geq 1$, $$\phi(p )=p-1\textrm{ et }\phi(p^{\alpha})=p^\alpha-p^{\alpha-1}.$$
- Si $n\wedge m=1$, alors $$\phi(nm)=\phi(n)\phi(m).$$
- En particulier, les propriétés précédentes permettent de calculer l'indicateur d'Euler $\phi(n)$ connaissant la décomposition en facteurs premiers de $n$. Ainsi on a $$\phi\left(p_1^{\alpha_1}\right)\dots \phi\left(p_r^{\alpha_r}\right)=\left(p_1^{\alpha_1}-p_1^{\alpha_1-1}\right)\times\dots\times\left(p_r^{\alpha_r}-p_r^{\alpha_r-1}\right)=n\left(1-\frac1{p_1}\right)\dots\left(1-\frac1{p_r}\right).$$
- On a aussi les propriétés suivantes : $$n=\sum_{d|n}\phi(d)$$ $$\phi(n)=\sum_{d|n}d\cdot \mu\left(\frac nd\right)$$ où $\mu$ est la fonction de Möbius.
Consulter aussi...
Recherche alphabétique
Recherche thématique