Théorème des fonctions implicites
Une courbe plane est souvent définie par une équation $f(x,y)=0$, par exemple le cercle trigonométrique a pour équation $x^2+y^2-1=0$. Pourtant, les courbes que l'on sait tracer ont plutôt pour équation $y=g(x)$. Il arrive qu'au voisinage d'un point $(a,b)$ de la courbe, les solutions de $f(x,y)=0$ peuvent s'exprimer sous la forme $y=g(x)$ pour une certaine fonction $g$. On dit alors que $y$ est une fonction implicite de $x$. Il existe un théorème donnant une condition d'existence d'une telle fonction implicite.
La condition $\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\neq 0$ signifie qu'au point $(a,b)$, les vecteurs tangents à la courbe $f(x,y)=0$ ont une composante en $x$ non nulle. Autrement dit, la courbe "avance le long de l'axe des abscisses". On peut donc exprimer localement $y$ en fonction de $x$.
Regardons ce que ce théorème signifie sur le cercle $x^2+y^2-1=0$, pour lequel $\frac{\partial f}{\partial y}=2y$.
- au point (0,1) on a $\frac{\partial f}{\partial y}(0,1)=2\neq 0$. On peut donc exprimer autour de $(0,1)$ $y$ en fonction de $x$. On peut ici donner une formule : $y=\sqrt{1-x^2}$.
- au point (1,0) on a $\frac{\partial f}{\partial y}(1,0)=0$. On ne peut plus appliquer
le théorème des fonctions implicites et effectivement $y$ n'est plus une fonction de $x$ autour de $(1,0)$, car pour $(x,y)$ proches de $(0,1)$ et
$x$ fixé, l'équation $x^2+y^2-1=0$ admet deux solutions possibles pour $y$.
En revanche, autour de $(1,0)$, on peut exprimer $x$ en fonction de $y$.
Le résultat précédent admet une généralisation aux fonctions comportant plus de deux variables, et à valeurs vectorielles. La condition qui apparait ici est l'inversibilité d'une bonne différentielle partielle de l'application.