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Dictionnaire de mathématiques > Analyse > Intégration >

Image essentielle,borne supérieure essentielle

Soit $(X,\mathcal B,\mu)$ un espace mesuré et $f:(X,\mathcal B,\mu)\to \mathbb (C,\mathcal B(\mathbb C))$ une application mesurable. Alors l'image essentielle de $f$ est définie par $$\textrm{ess.im}(f)=\{z\in\mathbb C;\ \forall \veps>0,\ \mu(\{x\in X; |f(x)-z|<\veps\})>0\}.$$ L'image essentielle vérifie les propriétés suivantes :

  • l'image essentielle de $f$ est une partie fermée contenue dans l'adhérence de l'image de $f$;
  • si $f$ et $g$ sont égales presque partout, alors elles ont même image essentielle;

L'image essentielle permet de définir la borne supérieure essentielle d'une fonction, qui est la borne supérieure de son image essentielle. On définit de façon similaire la borne inférieure essentielle.

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