Identités remarquables

Les identités remarquables sont des égalités qui permettent de développer ou de factoriser facilement une expression. Les plus classiques sont celles de degré 2, valables pour tous $a,b\in\mathbb R$ : $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ $$(a+b)(a-b)=a^2-b^2.$$ On utilise souvent aussi celles de degré 3 : $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,$$ $$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3,$$ $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$$ Plus généralement, les deux premières formules se généralisent aux puissances $n$-ième avec la formule du binôme de Newton $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom nk a^kb^{n-k}=a^n+\binom n1 a^{n-1}b+\cdots\binom n{n-1}ab^{n-1}+b^n$$ tandis que la dernière admet la généralisation suivante, issue des sommes de séries géométriques : $$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}).$$

Ces formules ont été énoncées ci-dessus pour des nombres réels. Elles sont encore valables si $a$ et $b$ sont deux éléments d'un anneau commutatif.