Éléments idempotents et nilpotents
Soit $k$ un entier naturel non nul. Un élément $x$ d'un groupe $G$ est dit idempotent d'ordre $k$ si $x^k=x$.
Exemples :
- en géométrie, les projections sont idempotentes d'ordre deux.
- dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb C$, l'élément imaginaire pur $i$ est idempotent d'ordre 5.
Dans un anneau $(A,+,×)$ un élément est dit nilpotent d'ordre $k$ si $x^k=0$.
Exemple : On considère la matrice suivante : $$A=\begin{pmatrix}1&-1\\ 1&-1 \end{pmatrix}.$$ On vérifie facilement que $A^2=0$, c'est-à-dire que $A$ est nilpotente d'ordre 2. Les matrices nilpotentes interviennent dans la réduction des endomorphismes.
On peut caractériser les éléments nilpotents de $\mathbb Z/n\mathbb Z$ :
Théorème :
Si $n$ se décompose en produit de facteurs premiers sous la forme
$n = p_1^{\alpha_1}\cdots p_ r^{\alpha_r},$ alors $\mathbb Z/n\mathbb Z$ admet
un élément nilpotent non nul si et seulement s'il existe un entier $k\in\{1,\dots,r\}$ tel que $p_k\geq 2.$
De plus, si $x\in\mathbb Z$, alors $\bar x$ est nilpotent si et seulement si $x\in p_1\cdots p_r\mathbb Z.$
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