Hyperplan
Pour un espace vectoriel $E$, les hyperplans sont les analogues des plans pour l'espace usuel de dimension 3. Il y a plusieurs façons de formuler cela rigoureusement :
- un hyperplan $H$ de $E$ est un sous-espace vectoriel maximal (pour la relation d'inclusion)! Si $F$ est un autre sous-espace vectoriel de $E$ avec $H\subset F$, alors ou bien $F=H$, ou bien $F=E$.
- un hyperplan $H$ de $E$ est un sous-espace vectoriel tel que $E$ se décompose comme la somme directe de $H$ et d'une droite vectorielle. Ainsi, un hyperplan de $E$ est un sous-espace vectoriel de codimension $1.$
- un hyperplan $H$ de $E$ est le noyau d'une forme linéaire non nulle sur $E.$
- si $E$ est de dimension finie $n$ non nulle, un hyperplan de $E$ est un sous-espace vectoriel de dimension finie $n-1$.
- si $E$ est de dimension finie $n$ non nulle, si $(e_1,\dots,e_n)$ est une base de $E$, et si un élément $x$ de $E$ admet pour coordonnées $x_1,\dots,x_n$ dans cette base, une partie $H$ de $E$ est un hyperplan si et seulement s'il existe $a_1,\dots,a_n\in K$, non tous nuls, tels que $$H=\{x\in E:\ a_ix_1+\cdots+a_nx_n=0.$$
Lorsqu'on est dans le cas d'un espace affine, un hyperplan affine est le translaté d'un hyperplan vectoriel. Il admet une équation du type $$a_1 x_1+\cdots +a_n x_n=c$$ si $E$ est de dimension finie, où $a_i\in K$ et $c\in K$, et les $a_i$ ne sont pas tous nuls.
Exemples :
- Dans $\mathcal M_n(K),$ l'ensemble des matrices de trace nulle est un hyperplan.
- Dans $K[X]$, l'ensemble des polynômes divisibles par $X$ est un hyperplan, car c'est le noyau de la forme linéaire $P \mapsto P(0).$
Théorème :
Soit $E$ un espace vectoriel et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$.
Alors $F$ est de codimension $q$ si et seulement s'il existe $\phi_1,\dots,\phi_q\in E^*$
des formes linéaires telles que $(\phi_1,\dots,\phi_q)$ est une famille libre et
$$F=\bigcap_{j=1}^q \ker(\phi_j).$$
Autrement dit, un sous-espace de codimension $q$ est l'intersection de $q$ hyperplans "indépendants".
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