Hyperboloïde
On appelle hyperboloïde à une nappe de l'espace euclidien toute surface $S$ pour laquelle il existe un repère orthonormé $(A,\vec u,\vec v,\vec w)$ dans lequel $S$ admet pour équation : $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$ où $a,b,c>0.$ Un hyperboloïde à une nappe est donc une des cinq quadriques propres.
Un hyperboloïde à une nappe vérifie les propriétés suivantes :
- l'intersection avec le plan $y=0$ est une hyperbole.
- l'intersection avec un plan $z=z_0$ est une ellipse.
- si $a=b,$ le hyperboloïde est une surface de révolution autour de $(A,\vec w).$
- l'hyperboloïde à une nappe est une surface réglée.
Un hyperboloïde à une nappe admet le paramétrage suivant : $$(\theta,u)\mapsto (a\cos\theta\textrm{ch}u,b\sin\theta\textrm{ch}u,c\textrm{sh}u).$$
On appelle hyperboloïde à deux nappes
de l'espace euclidien toute surface $S$ pour laquelle il existe un repère orthonormé $(A,\vec u,\vec v,\vec w)$
dans lequel $S$ admet pour équation :
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$$
où $a,b,c>0.$ Un hyperboloïde à deux nappes est donc une des cinq quadriques propres.
Un hyperboloïde à deux nappes vérifie les propriétés suivantes :
- l'intersection avec le plan $y=0$ est une hyperbole.
- l'intersection avec un plan $z=z_0$ est soit vide, soit vide, soit une ellipse, soit un point.
- si $a=b,$ l'hyperboloïde à deux nappes est une surface de révolution autour de l'axe $(A,\vec w).$
Un hyperboloïde à deux nappes admet le paramétrage suivant : $$(\theta,u)\mapsto (a\cos\theta\textrm{sh}u,b\sin\theta\textrm{sh}u,c\textrm{ch}u).$$