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Hyperbole

Définition géométrique

Historiquement, disons pour les mathématiciens grecs, une hyperbole est constituée par l'intersection d'un plan et d'un cône de révolution, lorsque le plan traverse les deux branches du cône. De nos jours, cette définition n'est quasiment plus enseignée, et on préfère la suivante. Soit $F$ un point du plan, $D$ une droite ne passant pas par $F,$ et $e$ un réel strictement supérieur à 1. Alors on appelle hyperbole de foyer $F,$ de directrice $D,$ d'excentricité $e,$ l'ensemble des points $M$ du plan vérifiant : $$\frac{d(M,F)}{d(M,D)}=e$$ où $d(M,F)$ est la distance de $M$ à $F,$ et $d(M,D)$ est la distance de $M$ à $D.$

L'hyperbole possède un centre de symétrie $O,$ ainsi que deux axes de symétrie. Par symétrie par rapport à $O,$ l'hyperbole possède un autre couple foyer/directrice. Il est d'ailleurs possible de donner une autre définition de l'hyperbole, dite définition bifocale : soit $F$ et $F'$ deux points distincts du plan, et $a$ un réel strictement positif. L'ensemble des points $M$ du plan tels que $$|MF-MF'|=2a$$ est une hyperbole de foyers $F$ et $F'.$

L'axe focal (i.e. l'axe qui porte les deux foyers) est un des deux axes de symétrie de l'hyperbole, le seul qui la coupe. On l'appelle aussi axe transverse. Ses points communs avec l'hyperbole sont appelés les sommets de l'hyperbole. Le réel $2a$ est alors la distance entre les deux sommets. Remarquons aussi que l'hyperbole admet deux asymptotes.

Une autre des propriétés remarquables de l'hyperbole est la suivante : si on prend un point $M$ sur l'hyperbole, et qu'on mène la tangente à l'hyperbole passant par $M,$ alors cette tangente est la bissectrice de l'angle $\widehat{FMF'}.$

Equations

Dans un repère orthonormé où le point $O$ est centre du repère et où la droite $(FF')$ est l'axe des abscisses, l'hyperbole admet pour équation $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$$ Dans ce repère, les asymptôtes ont pour équation $y=(b/a)x$ et $y=-(b/a)x.$ Dans le même repère, il faut deux courbes paramétrées pour décrire totalement l'hyperbole : $$\left\{ \begin{array}{rcl} x(t)&=&\pm a\cosh(t)\\ y(t)&=&b\sinh(t) \end{array} \right.,\quad\quad t\in\mathbb R.$$

Pour une équation paramétrique en coordonnées polaires, on renvoie à l'article concernant les coniques.

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