Règle de L'Hospital
La règle de l'Hospital est une méthode pour lever des formes indéterminées du type $0/0$ ou $\infty/\infty$ en utilisant la dérivée des fonctions. En cela, elle préfigure l'utilisation systématique des développements limités.
Proposition : Soit $a,b\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\}$ avec $a<b,$ soit $f,g:]a,b[\to\mathbb R$ deux fonctions dérivables telles que $g'$ ne s'annule pas.
Soit $\ell\in \mathbb R\cup\{\pm\infty\}.$
- Si $\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0$ et si $\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\ell$, alors $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell.$
- Si $\lim_{x\to a}g(x)=\pm\infty$ et si $\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\ell$, alors $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell.$
Exemple : $$\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^2+x-2}=\lim_{x\to 1}\frac{1}{2x+1}=\frac 13.$$

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