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Bibm@th

Homothétie

On appelle homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ la transformation qui à un point $M$ fait correspondre son image $M'$ telle que $\overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}.$

Une des propriétés fondamentales de l'homothétie est que l'image d'une droite par une homothétie est une droite parallèle. L'autre propriété importante est que l'homothétie multiplie les distances par $|k|$. Voila pourquoi on parle aussi parfois d'agrandissement (si $|k|>1$) ou de réduction (si $|k|<1$).

Les pièges de l'homothétie...

La tour Eiffel mesure environ 300 m de hauteur. Elle est entièrement construite en fer, et pèse environ 8000 tonnes. Vous en achetez un modèle réduit pour votre petite soeur, de 1m de haut (déjà pas mal!). Mais quel est sa masse?

La petite tour Eiffel peut être vue comme l'image de la grande par une homothétie de rapport 1/300. Mais attention!!! le résultat n'est pas 8000/300 tonnes, soit environ 27 tonnes! La tour Eiffel est réduite de 1/300 en largeur, en hauteur, en profondeur. Et si une homothétie multiplie les distances par k, elle multiplie les aires par $k^2,$ et les volumes par $k^3.$ Le modèle réduit pèse donc (en tonnes) $8000/(300×300×300),$ soit environ $296$ grammes. C'est plus raisonnable!

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