Suites homographiques
On appelle suite homographique une suite donnée par une relation de récurrence du type $u_{n+1}=\frac{au_n+b}{cu_n+d},$ avec les conditions supplémentaires $c\neq 0$ et $ad-bc\neq 0.$ Ces suites peuvent ne pas être définies partout, en fonction de la valeur du terme initial. Les points fixes éventuels (ou encore les limites possibles de la suite) vérifient l'équation du second degré : $c\ell^2+(d-a)\ell-b=0.$ On distingue donc différents cas suivant le nombre de racines de cette équation :
- Si on a deux racines, notons-les $\alpha$ et $\beta.$ On vérifie alors que la suite $(v_n)$ définie par $v_n=\frac{u_n-\alpha}{u_n-\beta}$ est géométrique de raison $k=\frac{c\beta+d}{c\alpha+d}.$ Donc si $|k|<1,$ $(v_n)$ converge vers 0, et $(u_n)$ converge vers $\alpha.$ Si $|k|>1,$ $(|v_n|)$ tend vers l'infini, et $(u_n)$ converge vers $\beta.$ Si $k=-1,$ la suite diverge (elle prend alternativement deux valeurs...)
- Si on a une unique racine $\ell,$ alors la suite définie par $w_n=\frac1{u_n-\ell}$ est arithmétique de raison $k=\frac{2c}{a+d},$ ce qui entraîne que la suite $(u_n)$ converge vers $\ell.$
- Si on n'a pas de points fixes, alors la suite diverge.
Voici une interprétation géométrique du premier cas, avec pour choix de coefficients $a=2,$ $b=1,$ $c=3,$ $d=5.$ On remarque très clairement la nature très différente des points fixes. On peut partir très près de $\alpha$ et pourtant on s'en éloigne irréversiblement...
