Homographie
Une homographie du plan complexe est une application de la forme $$z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}$$ où $a,$ $b,$ $c,$ $d$ sont des complexes tels que $ad-bc\neq 0.$ Une homographie s'obtient comme la composée de translations, de rotations, d'homothéties et éventuellement d'une inversion. Ainsi, par les propriétés de ces transformations, une homographie transforme l'ensemble des droites et des cercles du plan complexe en l'ensemble des droites et des cercles du plan complexe.
Il est souvent utile de prolonger une homographie $h$ à la droite projective complexe, c'est-à-dire à la sphère de Riemann $\hat{\mathbb C}=\mathbb C\cup\{\infty\}.$ Pour cela, on pose $$h(-d/c)=\infty \textrm{ et }h(\infty)=a/c$$ si $c\neq 0$, et $$h(\infty)=\infty$$ si $c=0.$ On montre alors que :
- étant donnés deux triplets $(A,B,C)$ et $(A',B',C')$ de la sphère de Riemann $\hat{\mathbb C},$ il existe une unique homographie $h$ telle que $h(A)=A',$ $h(B)=B'$ et $h(C)=C'.$
- une bijection de $\hat{\mathbb C}$ dans lui-même est une homographie si et seulement si elle conserve le birapport de quatre points quelconques.