Théorème d'holomorphie sous le signe intégral
Soit $(X,\mathcal B,\mu)$ un espace mesuré.
Théorème : Soit $U$ un ouvert de $\mathbb C$ et $f:U\times X\to\mathbb C$. On suppose que :
Alors la fonction
$$F:z\mapsto \int_X f(z,x)d\mu(x)$$
est holomorphe sur $U$ et, pour tout $z\in U,$ la fonction $z\mapsto \frac{\partial f}{\partial z}(z,x)$
est intégrable et
$$F'(z)=\int_X \frac{\partial f}{\partial z}(z,x)d\mu(x).$$
- pour tout $z\in U,$ $x\mapsto f(z,x)$ est mesurable;
- pour presque tout $x\in X,$ $z\mapsto f(z,x)$ est holomorphe, de dérivée notée $\frac{\partial f}{\partial z};$
- il existe une fonction $\varphi:X\to\mathbb R_+$ mesurable et vérifiant $\int_X \varphi d\mu<+\infty$ telle que, pour tout $z\in U$ et pour presque tout $x\in X,$ $$|f(z,x)|\leq \varphi(x).$$
Ce qu'il y a de remarquable dans ce théorème, c'est que l'hypothèse de domination porte sur $f$ et non sur sa dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial z}$ comme c'est le cas pour les théorèmes de dérivabilité sous le signe intégral pour les fonctions d'une variable réelle. L'hypothèse de domination sur $f$ entraîne celle sur $\frac{\partial f}{\partial z}$ via les inégalités de Cauchy.
Consulter aussi
Recherche alphabétique
Recherche thématique