Théorème de Holditch

Considérons une courbe convexe fermée $C$. Placez une corde de longueur constante à l'intérieur de la courbe $C$ et déplacez la de telle sorte que les deux extrémités restent toujours en contact avec $C$. Placez un point sur la corde, et notez $p$ et $q$ les longueurs des segments entre ce point et les deux extrémités de la corde. Lorsqu'on déplace la corde, ce point décrit une nouvelle courbe $C'$. Le théorème de Holditch affirme, sous certaines hypothèses assurant l'existence de $C'$ et le fait qu'elle ne possède pas de points doubles, que la surface comprise entre les deux courbes $C$ et $C'$ a pour aire $\pi pq$.

Voici ce que l'on obtient lorsque la courbe $C$ est un carré, que la corde a pour longueur le côté du carré, et que l'on place un point au quart de la corde :

Il est remarquable que cette aire ne dépend pas du tout de la forme de la courbe de départ $C$. De plus, on trouve l'aire d'une ellipse, alors que dans le cas général on ne voit pas bien comment une ellipse apparait. Dans le cas du carré, on peut recomposer les 4 surfaces obtenues pour en faire une ellipse.