Inégalité de Hoffman-Wielandt
L'inégalité de Hoffman-Wielandt est une inégalité qui permet, étant donnée deux matrices symétriques $A$ et $B$, de contrôler les différences des valeurs propres de $A$ et $B$ par la norme euclidienne (ou norme de Frobenius) de $A-B$.
Théorème : Soit $n\geq 1$ et $A,B\in\mathcal S_n(\mathbb R)$. Notons $\lambda_1(A)\geq\cdots\geq \lambda_n(A)$
et $\lambda_1(B)\geq\cdots\geq \lambda_n(B)$ leurs valeurs propres, rangées dans l'ordre décroissant. Alors
$$\sum_{i=1}^n (\lambda_i(A)-\lambda_i(B))^2\leq \|A-B\|_F^2$$
où, pour toute matrice $M=(m_{i,j})\in\mathcal M_n(\mathbb R)$,
$$\|M\|_F^2 =\textrm{Tr}(MM^T)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n m_{i,j}^2.$$
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