Transformée de Hilbert
La transformée de Hilbert d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ est la fonction définie par $$\mathcal H(f)(y)=\frac1{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{f(x)}{x-y}dx.$$ L'intégrale considérée ici l'est au sens de la valeur principale, c'est-à-dire que $$\mathcal H(f)(y)=\lim_{\veps\to 0\atop R\to+\infty}\left(\frac1{\pi}\int_{-R}^{-\veps}\frac{f(x)}{x-y}dx+\frac1{\pi}\int_{\veps}^R\frac{f(x)}{x-y}dx\right).$$ On montre que si $f$ appartient à $L^p(\mathbb R)$ avec $p>1,$ alors $\mathcal Hf$ appartient aussi à $L^p(\mathbb R).$
La transformée de Hilbert intervient notamment en théorie du signal et on peut en donner un sens plus général dans la théorie des distributions.
Table :
Dans ce tableau, $R$ est la fonction rectangle égale à $1/2$ sur $[-1/2,1/2],$ et à $0$ ailleurs.