Opérateur de Hilbert-Schmidt

Théorème : Soit $H$ un espace de Hilbert et $T\in\mathcal L(H)$ une application linéaire et continue sur $H$. Soit $(e_n)$ et $(f_n)$ deux bases hilbertiennes de $H$. Alors la série $\sum_n \|Te_n\|^2$ converge si et seulement si la série $\sum_n \|Tf_n\|^2$ converge. Dans ce cas, on a de plus $$\sum_{n\geq 0}\|Te_n\|^2=\sum_{n\geq 0}\|Tf_n\|^2.$$ On dit alors que $T$ est un opérateur de Hilbert-Schmidt et on appelle norme de Hilbert-Schmidt de $H$ la quantité $$\|T\|_{HS}=\left(\sum_{n\geq 0}\|Te_n\|^2\right)^{1/2}.$$