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Polynômes de Hilbert
On appelle famille des polynômes de Hilbert la suite de polynômes $(H_n)$ définie par $$H_0(X)=1,\ \forall n\in\mathbb N^*,\ H_n(X)=\frac{X(X-1)\cdots (X-n+1)}{n!}.$$ La famille $(H_0,\dots,H_n)$ est une base de $\mathbb C_n[X]$. Elle permet notamment de démontrer le résultat suivant :
Théorème :
Soit $P\in\mathbb C[X]$ de degré $n$. Alors $P(\mathbb Z)\subset\mathbb Z$ si et seulement s'il existe $\alpha_0,\dots,\alpha_n\in\mathbb Z$ tels que
$$P=\alpha_0 H_0+\alpha_1 H_1+\cdots +\alpha_n H_n.$$
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