IXè problème de Hilbert

Soit $p$ et $q$ deux entiers premiers impairs distincts. Gauss a prouvé en 1796 que les équations de congruence $$x^2\equiv p\ [q]$$ $$x^2\equiv q\ [p]$$ ont ou bien toutes deux (au moins) une solution, ou bien aucune n'a de solutions, sauf dans le cas où $p$ et $q$ sont tous deux congrus à $3$ modulo $4$ : dans ce dernier cas, si une des équations a une (des) solution(s), l'autre n'en a pas, et réciproquement. Ce résultat s'appelle loi de réciprocité quadratique.

Plus généralement, tout théorème qui relie le nombre de solutions de $x^n\equiv p\ [q]$ à celui de $x^n=q\ [p]$ s'appelle théorème de réciprocité. Le contenu du 9ème problème que Hilbert posa à la communauté des mathématiciens en 1900 concernait justement ces lois de réciprocité, mais dans un cadre plus large. Plus précisément, soit $A$ l'anneau des entiers d'un corps algébrique, $I$ un idéal premier de $A,$ et $a$ un élément de $A.$ Que dire de l'ensemble des solutions de $x^n=a\ (\textrm{mod }I).$ Le résultat le plus général a été obtenu par Artin en 1927.