VIIè problème de Hilbert
Dans la liste des 23 problèmes qu'Hilbert donna en 1900, le septième était consacré à la transcendance des nombres. Si $a$ est algébrique et $b$ est irrationnel, est-ce que $a^b$ est transcendant? Une réponse partielle a été apportée par Gelfond et Schneider (indépendamment l'un de l'autre) en 1934, sous la forme du théorème suivant :
Théorème : Si $a$ est un nombre algébrique différent de $0$ et de $1$, et si $b$ est un nombre algébrique irrationnel,
alors $a^b$ est transcendant.
Par exemple, ce théorème prouve l'irrationnalité de $2^{\sqrt 2}$.
La formulation initiale du VIIè problème de Hilbert était plus géométrique :
dans un triangle isocèle dont le rapport entre l'angle à la base et l'angle au sommet est algébrique (mais non rationnel),
est-ce que le rapport entre la longueur de la base et celle d'un des deux autres côtés est un nombre transcendant?
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