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XVIIè problème de Hilbert

Soit $P$ un polynôme de $\mathbb R[X]$ tel que, pour chaque $x\in\mathbb R$, $P(x)\geq 0$. Les racines de $P$ sont donc de multiplicité paire, et $P$ se factorise sous la forme suivante $$P(X)=\lambda \prod_{i=1}^r (X-a_i)^2 \prod_{j=1}^q \big((X-b_j)^2+c_j^2\big).$$ Maintenant, en utilisant l'identité de Lagrange $$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$$ et en écrivant $(X-a_i)^2=(X-a_i)^2+0^2$, on obtient par récurrence que $P$ s'écrit $P=P_1^2+P_2^2$. Autrement dit, tout polynôme positif s'écrit comme somme de carrés de polynômes.

On peut se demander si cette conclusion est encore vérifiée pour les polynômes à plusieurs variables. Il a été observé par Hilbert que cela n'est pas le cas. Par exemple, le polynôme $P(X,Y)=X^2Y^2(X^2+Y^2-1)+1$ est toujours positif sur $\mathbb R^2$, mais ne s'écrit pas comme somme de carrés de polynômes (cet exemple n'est pas dû à Hilbert, qui utilisait des arguments indirects, mais date de 1950).

En 1900, le XVIIè problème que Hilbert posa lors d e sa célèbre conférence au congrès international des mathématiciens était la suivante :

Soit $P$ un polynôme en $n$ variables, tel que $P(x_1,\dots,x_n)$ est positif pour tout $(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb R^n$. $P$ s'écrit-il $$P=\sum_{i=1}^p Q_i^2,$$ où les $Q_i$ sont des fractions rationnelles?

Ce problème a été résolu de façon positive par Artin en 1926.

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