XIIè problème de Hilbert
Un théorème de Kronecker affirme que les corps cyclotomiques sont des extensions abéliennes de $\mathbb Q$ et que réciproquement, toute extension abélienne de $\mathbb Q$ est un sous-corps d'un corps cyclotomique. Le 12è problème de Hilbert visait à une généralisation de ce résultat. Il a été résolu par Takagi en 1922, qui a prouvé le théorème suivant :
Théorème : Toute extension abélienne sur un corps de nombres algébriques $F$ est un corps de classe sur $F,$
et réciproquement tout corps de classe sur $F$ est une extension abélienne de $F.$
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