$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}}
\newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}}
\newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}
\newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n}
\newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}}
\newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)}
\newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch}
\DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th}
\DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card}
\DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im}
\DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr}
\DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}}
\newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle}
\newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]}
\newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle}
$$
Bibm@thPolynômes de Hermite
Les polynômes de Hermite sont les polynômes $H_n$ définis pour $n\geq 0$ par :
$$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}h_n^{(n)}(x)\textrm{ avec }h_n(x)=e^{-x^2}.$$
En particulier, $H_n$ est un polynôme de degré $n$, de coefficient dominant $2^n$. Les premiers polynômes de Laguerre sont
$$\begin{array}{rcl}
H_0(x)&=&1\\
H_1(x)&=&2x\\
H_2(x)&=&4x^2-2\\
H_3(x)&=&8x^3-12x.
\end{array}$$
Les polynômes de Hermite forment une famille orthogonale pour le produit scalaire
$$\langle f,g\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(t)e^{-t^2}dt,$$
et on a de plus
$$\langle H_n,H_n\rangle=\sqrt \pi 2^n n!$$
Ils vérifient une relation de récurrence d'ordre 2 :
$$H_{n+1}=2XH_n-H_n'.$$
Par ailleurs, $L_n$ est solution de l'équation différentielle suivante, dite équation de Laguerre :
$$xy''+(1-x)y'+ny=0.$$
Avec un petit changement de point de vue, on peut déduire de $(H_n)$ une base hilbertienne de $L^2(\mathbb R)$.
Elle est donnée par les fonctions $\pi^{-1/4}2^{-n/2}(n!)^{-1/2}H_n(x)e^{-x^2/2}$.
Consulter aussi...
Recherche alphabétique
Recherche thématique
