Théorème de Heine-Borel
Théorème : Soit $K$ une partie fermée et bornée de $\mathbb R$, et soit $\mathcal F$ une famille d'intervalles
tel que tout point de $K$ est intérieur à l'un des éléments de $\mathcal F$. Alors il existe une sous-famille finie
de $\mathcal F$ qui vérifie la même propriété.
Ce résultat est utilisé pour la première fois en 1854 par Dirichlet dans un cours, alors qu'il démontre
qu'une fonction continue sur un segment et uniformément continue. Ce cours n'est publié qu'en 1904,
et Heine en 1872 utilise le même résultat dans le même but. Aucun des deux n'a perçu l'utilité
de faire une démonstration. C'est Borel en 1895 qui isole le résultat et en donne
une première démonstration, lorsque $\mathcal F$ est dénombrable.
Lebesgue en donne lui une démonstration en 1904 même si la famille $\mathcal F$ n'est pas dénombrable.
Cette démonstration est bien plus simple et est encore enseignée maintenant.
Consulter aussi...
Recherche alphabétique
Recherche thématique