$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Inégalité de Hardy

Soit $(a_n)$ une suite de nombres réels positifs. On définit $A_n=\sum_{k=1}^n a_k$ pour $n\geq 1.$ Alors, pour chaque $p>1,$ on a : $$\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{A_n}n\right)^p\leq\left(\frac p{p-1}\right)^p\sum_{n=1}^{+\infty}a_n^p.$$

Cette inégalité a aussi une variante pour les fonctions. Si $f$ est une fonction positive définie sur $\mathbb R_ +$ et si on pose $F(x)=\int_0^x f(t)dt$ pour tout $x>0$, alors on a $$\int_0^{+\infty}\left(\frac{f(x)}x\right)^pdx\leq \left(\frac p{p-1}\right)^p \int_0^{+\infty}f(x)^p dx.$$ Pour les deux inégalités précédentes, la constante $\left(\frac p{p-1}\right)^p$ est la meilleure possible.

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