Inégalité de Hardy
Soit $(a_n)$ une suite de nombres réels positifs. On définit $A_n=\sum_{k=1}^n a_k$ pour $n\geq 1.$ Alors, pour chaque $p>1,$ on a : $$\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{A_n}n\right)^p\leq\left(\frac p{p-1}\right)^p\sum_{n=1}^{+\infty}a_n^p.$$
Cette inégalité a aussi une variante pour les fonctions. Si $f$ est une fonction positive définie sur $\mathbb R_ +$ et si on pose $F(x)=\int_0^x f(t)dt$ pour tout $x>0$, alors on a $$\int_0^{+\infty}\left(\frac{f(x)}x\right)^pdx\leq \left(\frac p{p-1}\right)^p \int_0^{+\infty}f(x)^p dx.$$ Pour les deux inégalités précédentes, la constante $\left(\frac p{p-1}\right)^p$ est la meilleure possible.
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