Espaces de Hardy
Les espaces de Hardy sont des espaces de fonctions holomorphes sur le disque unité $\mathbb D=\{z\in\mathbb C;\ |z|<1\}$ importants en analyse fonctionnelle. Ils sont définis de la façon suivante. Pour $p\geq 1$, $H^p(\mathbb D)$ est l'ensemble des fonctions holomorphes $f$ sur $\mathbb D$ pour lesquelles $$\sup_{0<r<1}\int_{0}^{2\pi}|f(re^{it})|^p dt<+\infty.$$ On définit alors $$\|f\|_{p}=\sup_{0<r<1}\left(\int_{0}^{2\pi}|f(re^{it})|^p \frac{dt}{2\pi}\right)^{1/p}.$$ Ceci munit $H^p(\mathbb D)$ d'une norme et en fait un espace de Banach. Pour $p=2,$ l'espace $H^2(\mathbb D)$ est même un espace de Hilbert donc la suite $(z^n)_{n\in\mathbb N}$ est une base hilbertienne.
Ces espaces peuvent aussi être identifiés à l'espace $$H^p(\mathbb T)=\{f\in L^p(\mathbb T);\ \hat f(n)=0\ \forall n<0\}$$ où $\mathbb T=\{z\in \mathbb C;\ |z|=1\}$ désigne le cercle unité.
Les espaces de Hardy vérifient les propriétés suivantes :
- Soit $(f_n)$ une suite d'éléments de $H^p(\mathbb D)$ qui converge en norme vers $f,$ alors $(f_n)$ converge uniformément sur tout compact de $\mathbb D$ vers $f.$
- Soit $(f_n)$ une suite d'éléments de $H^p(\mathbb D)$ incluse dans la boule unité. Alors on peut en extraire une sous-suite qui converge uniformément sur tout compact de $\mathbb D.$
- La topologie faible de la boule unité de $H^2(\mathbb D)$ coïncide avec la topologie de la convergence uniforme sur tout compact.
On peut aussi définir les espaces de Hardy de façon similaire si $0<p<1,$ mais dans ce cas on n'obtient plus un espace normé.