Base de Hamel

On appelle base de Hamel de $\mathbb R$ toute base de $\mathbb R$ vu comme $\mathbb Q$-espace vectoriel, c'est-dire-une famille $(y_a)$ de réels tel que tout réel $y$ s'écrive de façon unique $$y=\sum_{i=1}^n r_i y_{a_i}$$ où les $r_i$ sont des rationnels, et les $y_{a_i}$ des éléments distincts de la famille $(y_a)$.

On ne peut pas exhiber concrètement une base de Hamel : leur existence est équivalente à l'axiome du choix.

L'existence de telles bases est démontré par le mathématicien allemand Georg Hamel en 1905, peu de temps après que son compatriote Ernst Zermelo ait formalisé l'axiome du choix. Hamel utilisait ce type de base pour démontrer qu'il existe des fonctions $f:\mathbb R\to\mathbb R$ qui ne sont continues telles que, pour tout $(x,y)\in\mathbb R^2$, $f(x+y)=f(x)+f(y)$.