Théorème de Hahn-Banach
Le théorème d'Hahn-Banach est un théorème de prolongement d'une forme linéaire continue définie sur un sous-espace d'un espace vectoriel normé à l'espace normé tout entier. Il en existe deux formes, l'une analytique, l'autre géométrique.
Théorème de Hahn-Banach (forme analytique) : Soit $E$ un espace vectoriel normé,
$G$ un sous-espace vectoriel de $E$, et $g:G\to\mathbb K$
une forme linéaire continue de norme $\|g\|_{G^*}$. Alors il existe une forme linéaire continue $f:E\to\mathbb K$ qui prolonge $g$
et telle que $\|f\|_{E^*}=\|g\|_{G^*}$.
Théorème de Hahn-Banach (forme géométrique) :
Soient $A$ et $B$ deux parties convexes non vides disjointes du $\mathbb R$-espace vectoriel normé $E$.
- Si $A$ est ouvert, il existe un hyperplan qui sépare $A$ et $B$ (au sens large).
- Si $A$ est fermé et $B$ est compact, il existe un hyperplan fermé qui sépare strictement $A$ et $B$.
Le théorème d'Hahn-Banach (dans sa forme analytique)
est démontré par Hans Hahn en 1927, sous l'hypothèse que $G$ est complet.
Stefan Banach supprime cette hypothèse superflue en 1929.
Consulter aussi...
Recherche alphabétique
Recherche thématique