Théorème des 3 cercles, des 3 droites d'Hadamard
Le théorème des 3 cercles d'Hadamard permet de contrôler la valeur d'une fonction holomorphe sur un cercle de rayon $r$ quand on sait la contrôler sur deux cercles de centre $r_1<r$ et $r_2>r$.
Théorème : Soient $0\leq r_1<r_2$ et posons
$V=\{z\in\mathbb C;\ r_1<r<r_1\}$. Soit $f:\bar V\to\mathbb C$
continue, holomorphe dans $V$, et pour $r$ dans $[r_1,r_2]$, posons $M(r)=\sup\{|f(z)|; |z|=r\}$.
Alors pour $\theta\in[0,1]$, si $r\in [r_1,r_2]$ est tel que $\log(r)=\theta\log(r_1)+(1-\theta)\log(r_2)$, on a
$$M(r)\leq M(r_1)^{\theta}M(r_2)^{1-\theta}.$$
Autrement dit, la fonction $\ln M(r)$ est une fonction convexe de $\ln r$.
On peut faire la même chose pour des fonctions définies sur une bande verticale.
Théorème : Soit $\Omega=\{z\in\mathbb C;\ 0<\Re e(z)<1\}$ et
$g:\bar\Omega\to \mathbb C$ une fonction continue et holomorphe dans $\Omega$.
Pour $x$ dans $[0,1]$, on pose $M(x)=sup\{|g(x+it)|; t\in\mathbb R\}$. Alors on a :
$$M(x)\leq M(0)^{1-x}M(1)^x.$$
Dans ce cas, la fonction $\ln M(x)$ est une fonction convexe de $x$.
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