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Théorème d'Hadamard-Lévy

Le théorème d'Hadamard-Lévy est une caractérisation des $\mathcal C^1$-difféomorphismes de $\mathbb R^n$ sur $\mathbb R^n.$ D'après le théorème d'inversion globale, si $f:\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ est de classe $\mathcal C^1$, injective, et si $df_x$ est inversible pour tout $x\in\mathbb R^n$, $f$ réalise un $\mathcal C^1$-difféomorphisme de $\mathbb R^n$ sur $f(\mathbb R^n).$ Le théorème d'Hadamard-Lévy précise quand de plus $f$ réalise une bijection de $\mathbb R^n$ sur $\mathbb R^n.$ On rappelle que $f:\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ continue est dite propre si l'image réciproque par $f$ de tout compact est compacte, ou encore, de façon équivalente, si $\|f(x)\|$ tend vers $+\infty$ lorsque $\|x\|$ tend vers $+\infty$.

Théorème : Soit $f:\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ de classe $\mathcal C^1$. Les assertions suivantes sont équivalentes :
  • $f$ est un $\mathcal C^1$-difféomorphisme de $\mathbb R^n$ sur $\mathbb R^n$;
  • $f$ est propre et, pour tout $x\in\mathbb R^n$, $df_x$ est inversible.
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