Lemme de Hadamard
Théorème :
Soit $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ une fonction de classe $\mathcal C^\infty$.
- si $f(0)=0$, alors il existe des fonctions $g_1,\dots,g_n$ de classe $\mathcal C^\infty$ telles que $$\forall x\in\mathbb R^n,\ f(x)=\sum_{i=1}^n x_ig_i(x).$$
- si $f(0)=0$ et $df_0=0$, alors il existe des fonctions $h_{i,j}$, pour $1\leq i,j\leq n$, de classe $\mathcal C^\infty$ telles que $$\forall x\in\mathbb R^n,\ f(x)=\sum_{i,j=1}^n x_ix_jh_{i,j}(x).$$
Si $n=1$, ce lemme peut être vu comme un résultat de division par $x$ : si $f(0)=0$, alors $f(x)/x$ se prolonge en une fonction de classe $\mathcal C^\infty.$ Si $f(0)=f'(0)=0$, on a la même conclusion pour $f(x)/x^2.$ Notons que le résultat est une conséquence assez facile de la formule de Taylor avec reste intégral et des théorèmes de régularité des intégrales à paramètres.
Consulter aussi...
Recherche alphabétique
Recherche thématique