$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Lemme de Hadamard

Théorème : Soit $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ une fonction de classe $\mathcal C^\infty$.
  • si $f(0)=0$, alors il existe des fonctions $g_1,\dots,g_n$ de classe $\mathcal C^\infty$ telles que $$\forall x\in\mathbb R^n,\ f(x)=\sum_{i=1}^n x_ig_i(x).$$
  • si $f(0)=0$ et $df_0=0$, alors il existe des fonctions $h_{i,j}$, pour $1\leq i,j\leq n$, de classe $\mathcal C^\infty$ telles que $$\forall x\in\mathbb R^n,\ f(x)=\sum_{i,j=1}^n x_ix_jh_{i,j}(x).$$

Si $n=1$, ce lemme peut être vu comme un résultat de division par $x$ : si $f(0)=0$, alors $f(x)/x$ se prolonge en une fonction de classe $\mathcal C^\infty.$ Si $f(0)=f'(0)=0$, on a la même conclusion pour $f(x)/x^2.$ Notons que le résultat est une conséquence assez facile de la formule de Taylor avec reste intégral et des théorèmes de régularité des intégrales à paramètres.

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