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Caractères d'un groupe, et groupe dual

Si $G$ est un groupe, on appelle caractère de $G$ tout morphisme de groupes de $G$ dans $(\mathbb U,\times)$, où $\mathbb U$ désigne l'ensemble des nombres complexes de module 1. L'ensemble des caractères de $G$ s'appelle groupe dual de $G$. Il forme un groupe pour la multiplication des fonctions.

Exemples :

  • Si $G$ est un groupe abélien fini, le groupe dual de $G$ est isomorphe à $G$.
  • Si $G=\mathbb Z$, le groupe dual de $G$ s'identifie à l'ensemble des nombres complexes de module 1 : les caractères sont les fonctions $f:\mathbb Z\to\mathbb U$ définies par $$f(n)=z^n$$ où $z$ est un élément de $\mathbb U$.
La notion de groupe dual et de caractère est utile pour faire de l'analyse de Fourier abstraite.
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