Caractères d'un groupe et groupe dual
Si $G$ est un groupe, on appelle caractère de $G$ tout morphisme de groupes de $G$ dans $(\mathbb C^*,\times)$. L'ensemble des caractères de $G$ s'appelle groupe dual de $G$. Il forme un groupe pour la multiplication des fonctions et est souvent noté $\hat G.$ Lorsque $G$ est fini, un caractère de $G$ prend ses valeurs dans $\mathbb U,$ l'ensemble des nombres complexes de module $1.$
Exemples :
- Si $G$ est un groupe abélien fini, le groupe dual de $G$ est isomorphe à $G$.
- Si $G=\mathbb Z$, le groupe dual de $G$ s'identifie à $\mathbb C^*$ : les caractères sont les fonctions $f:\mathbb Z\to\mathbb C^*$ définies par $$f(n)=z^n$$ où $z$ est un élément de $\mathbb C^*$.
- Si $G_1$ et $G_2$ sont deux groupes, le dual de $G_1\times G_2$ est isomorphe à $\widehat{G_1}\times\widehat{G_2}.$
Une autre définition de caractère existe : un caractère de $G$ est un morphisme de groupes de $G$
dans $(\mathbb U,\times).$ Cette dernière notion (qui coïncide avec celle que l'on a introduite ici
dans le cas des groupes finis) est utile pour faire de l'analyse de Fourier abstraite.
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