Groupe dérivé
Si $G$ est un groupe et $x,y\in G$, le commutateur de $x$ et $y$ est l'élément $[x,y]$ de $G$ défini par $$[x,y]=xyx^{-1}y^{-1}.$$ Les commutateurs vérifient les propriétés suivantes :
- $[x, y] = e\iff xy = yx$ (d'où le nom commutateur).
- $[x, y]^{-1} = [y, x].$
- Si $\psi$ est un endomorphisme de $G,$ alors $\psi([x,y])=[\psi(x), \psi(y)].$
- Pour tous $g,$ $h,$ et $k$ dans $G,$ on a $$ [g, hk] = [g, h].h[g, k]h^{-1}.$$
On appelle groupe dérivé de $G$, noté $D(G),$ le sous-groupe engendré par les commutateurs. Un groupe est dit parfait s'il est égal à son groupe dérivé.
Le groupe dérivé vérifie les propriétés suivantes :
- $D(G)$ est un sous-groupe normal (et même pleinement caractéristique) de $G.$
- Si $H$ est un sous-groupe normal de $G,$ le groupe quotient $G/H$ est abélien si et seulement si $H$ contient $D(G).$ Ainsi, $G/D(G)$ est le plus grand quotient abélien de $G.$
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