Groupe
On appelle groupe un ensemble $G$ muni d'une loi interne $\times$ telle que :
- la loi $\times$ est associative : pour tous $x,y,z$ de $G$, on a $x\times (y\times z)=(x\times y)\times z$.
- il existe un élément neutre $e$ : pour tout $x$ de $G$, $x\times e=e\times x=x$.
- tout élément possède un symétrique : pour tout $x$ de $G$, il existe $y$ de $G$ avec $x\times y=y\times x=e$.
Si la loi $\times$ est commutative, on parle de groupe commutatif (ou abélien). On peut prouver qu'un groupe admet un unique élément neutre et qu'un élément $x$ admet un unique symétrique que l'on note souvent $x^{-1}$.
Exemples :
- $\mathbb Z$, muni de $+$, est un groupe.
- $\mathbb R^*$, muni de $\cdot$ (la multiplication usuelle), est un groupe.
- $\mathbb N$, muni de $+$, n'est pas un groupe : $3$ n'admet pas de symétrique.
- L'ensemble des bijections d'un ensemble $X$, muni de la composition des fonctions, est un groupe : on l'appelle groupe des permutations de $X$.
Cette définition peut sembler abrupte. Il faut bien comprendre qu'en mathématiques,
l'introduction de définitions si abstraites se fait souvent après de longues années, ou de longs siècles de travaux.
Dans ce cas particulier, les mathématiciens s'étaient rendus compte depuis de nombreuses années que certains ensembles
avaient des propriétés communes. Et c'est Galois, vers 1820, lors de travaux pour caractériser les équations du 5è degré
résolubles par radicaux, qui a ressenti le besoin d'introduire cette notion abstraite de groupes, et de l'étudier pour elle-même.
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