Groupe abélien de type fini
Un groupe abélien de type fini est un groupe commutatif engendré par un nombre fini d'éléments. On a un théorème de structure très simple pour de tels groupes.
Théorème :
Soit $G$ un groupe abélien de type fini. Il existe un unique entier $\ell\geq 0$ et une unique suite finie $(a_1,\dots,a_k)$
d'entiers supérieurs ou égaux à $2$ tels que $G$ soit isomorphe au produit direct
$$\mathbb Z^l\times (\mathbb Z/a_1\mathbb Z)\times\cdots\times (\mathbb Z/a_k\mathbb Z)$$
avec la condition supplémentaire $a_j|a_{j+1}$ pour $j=1,\dots,k-1$.
Lorsqu'on part d'un groupe fini, on a toujours $\ell=0$ dans le théorème précédent, qui porte alors le nom de théorème de Kronecker. Les sous-groupes $\mathbb Z/a_i\mathbb Z$ sont alors appelés les facteurs invariants de $G$.
Ce théorème de structure est un cas particulier d'un théorème de
structure sur les $A$-modules
de type fini, où $A$ est un anneau principal.
Consulter aussi...
Recherche alphabétique
Recherche thématique