Lemme de Gronwall
Théorème : Soient $f$,$g$ et $y$ trois fonctions continues sur un segment $[a,b]$, à valeurs positives, et vérifiant l'inégalité suivante : pour tout $t\in[a,b],$
$$y(t)\leq f(t)+\int_a^t g(s)y(s)ds.$$
Alors, pour tout $t$ de $[a,b]$ :
$$y(t)\leq f(t)+\int_a^t f(s)g(s)\exp\left(\int_s^t g(u)du\right)ds.$$
Le lemme de Gronwall s'interprète en disant qu'à partir d'une inégalité intégrale portant sur $y$, on trouve une inégalité sur $y$. Ce lemme sert souvent dans la théorie des équations différentielles, notamment pour obtenir des majorations de solutions. Il peut être combiné avec le principe de majoration a priori pour déterminer l'intervalle de définition d'une solution maximale.
Un cas particulier important est celui où la fonction $f$ est constante, c'est-à-dire que $y$ vérifie l'inégalité : $$\forall t\in [a,b],\ y(t)\leq C+\int_a^t g(s)y(s)ds$$ avec $C\in\mathbb R_+.$ Alors on en déduit que $$\forall t\in[a,b],\ y(t)\leq C\exp\left(\int_a^t g(s)ds\right).$$
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