Théorème :
Soit $a,b\in\mathbb R$ avec $a<b,$ soit $f:[a,b]\to[a,b]$ continue et soit $(u_n)$ une suite
définie par $u_0\in[a,b]$ et $u_{n+1}=f(u_n).$ Alors
$$(u_n)\textrm{ converge}\iff \lim_{n\to+\infty}(u_{n+1}-u_n)=0.$$
Il est clair que si $(u_n)$ converge, alors $u_{n+1}-u_n\to 0.$ Réciproquement, on suppose
que $(u_{n+1}-u_n)$ tend vers $0$ et on veut prouver que $(u_n)$ converge.
La preuve comporte plusieurs étapes :
Soit $l<l'$ deux valeurs d'adhérence de $(u_n)$.
Alors tout élément de $[l,l']$ est valeur d'adhérence de $(u_n)$.
En effet, prenons $c\in ]l,l'[$. Il suffit de démontrer que, pour tout $\varepsilon>0$,
pour tout $N\in\mathbb N,$ il existe $n\geq N$ tel que $u_n\in[c-\varepsilon,c+\varepsilon]$.
Si ce n'est pas le cas, soit $N_1$ tel que $u_n\notin ]c-\varepsilon,c+\varepsilon[$ pour $n\geq N_1.$
Soit aussi $N_2$ tel que $|u_{n+1}-u_n|<\varepsilon$ pour tout $n\geq N_2$.
Posons $N=\max(N_1,N_2)$. Si $u_N<c-\varepsilon,$
alors $u_n<c-\varepsilon$ pour tout $n\geq N$. En effet, si $n>N$ est le plus petit entier supérieur ou égal
à $N$ tel que $u_n\geq c-\varepsilon,$ alors $u_n>c+\varepsilon,$ $u_{n-1}<c-\varepsilon$ et ceci contredit que
$u_n-u_{n-1}<\varepsilon.$
Mais il est impossible que $u_n<c-\varepsilon$ pour tout $n\geq N$ puisque $l'$ est valeur d'adhérence de $(u_n)$ et $l'>c.$
Si au contraire $u_N>c+\varepsilon,$ alors $u_n>c+\varepsilon$ pour tout $n\geq N$ ce qui contredit que $l$ est valeur d'adhérence de $(u_n)$.
Si $l$ est valeur d'adhérence de $u_n$, alors $l$ est un point fixe de $f.$
En effet, si $(u_\varphi(n))$ converge vers $l,$ $(u_{\varphi(n)+1})$ converge vers $f(l)$.
Mais comme $u_{\varphi(n+1)}-u_{\varphi(n)}\to 0,$ $f(l)=l.$
Si $(u_n)$ admet une unique valeur d'adhérence, comme elle vit dans le compact $[a,b],$ alors elle converge. Si elle admet deux valeurs d'adhérence $l<l',$
alors il existe $n_0\in\mathbb N$ tel que $u_{n_0}\in ]l,l'[$
(cf le raisonnement de la première étape).
Mais $u_{n_0}$ est une valeur d'adhérence de $(u_n)$, donc un point fixe de $f,$
donc la suite $(u_n)$ est stationnaire, ce qui contredit le fait qu'il existe plusieurs valeurs d'adhérence!
