Formules de Green et de Green-Riemann
Le nom de formule de Green (ou formule de Green-Riemann) est le nom donné à plusieurs formules dont l'intérêt est d'exprimer une intégrale sur une surface comme une intégrale curviligne sur le bord de cette surface.
Autrement dit, on remplace l'intégrale curviligne de la forme différentielle $Pdx+Qdy$ sur le bord de $K$ par une intégrale double. Le dessin suivant montre l'orientation choisie :
Soit $\Omega$ un ouvert borné de $\mathbb R^n$ à frontière $\partial \Omega$ de classe $\mathcal C^1$. Soit $\mathbf n$ le vecteur unitaire sortant à $\partial \Omega$. Plus précisément, si $\rho$ est une fonction définissante de $\Omega$ (ie si $\Omega=\{x\in\mathbb R^n;\ \rho(x)<0\}$ et $\nabla \rho$ ne s'annule pas), alors $\mathbf n=\frac{1}{\|\nabla\rho\|}\nabla \rho$. Si $u$ est une fonction de classe $\mathcal C^1$ au voisinage de $\partial \Omega$, on note $\frac{\partial u}{\partial \mathbf n}$ la dérivée normale de $u$ en un point de $\partial \Omega$, c'est-à-dire $\frac{\partial u}{\partial \mathbf n}=\langle \nabla u,\mathbf n\rangle$.
- Première formule de Green : $$\int_{\Omega}\Delta ud\lambda=\int_{\partial \Omega}\frac{\partial u}{\partial \mathbf n}d\sigma$$ où $d\lambda$ est la mesure de Lebesgue et $d\sigma$ la mesure euclidienne sur $\partial \Omega$.
- Deuxième formule de Green : $$\int_{\Omega}\left(v\Delta u-u\Delta v\right) d\lambda=\int_{\partial \Omega}\left(v\frac{\partial u}{\partial \mathbf n} -u\frac{\partial v}{\partial \mathbf n}\right)d\sigma.$$
Ainsi, si le laplacien d'une fonction est nulle, elle vaut en un point la valeur moyenne prise sur un cercle de centre ce point : c'est la propriété de la valeur moyenne vérifiée par les fonctions harmoniques.