Formules de Green et de Green-Riemann
Le nom de formule de Green (ou formule de Green-Riemann) est le nom donné à plusieurs formules dont l'intérêt est d'exprimer
une intégrale sur une surface comme une intégrale curviligne sur le bord de cette surface.
Formule de Green-Riemann
Théorème :
Soit $K$ un compact de $\mathbb R^2$ dont la frontière $\partial K$ est constituée d'une réunion finie de courbes de classe $C^1$.
On oriente la frontière de $K$ sorte que en parcourant la frontière dans le sens de l'orientation, $K$ soit constamment
sur la gauche. Soit de plus $\vec F=(P,Q)$ un champ de vecteurs $C^1$ par morceaux sur $K$. Alors
$$\int_{\partial K}Pdx+Qdy=\int\!\!\int_{K}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy.$$
Autrement dit, on remplace l'intégrale curviligne de la forme différentielle $Pdx+Qdy$ sur le bord de $K$ par une intégrale double.
Le dessin suivant montre l'orientation choisie :
Formules de Green
Soit $\Omega$ un ouvert borné de $\mathbb R^n$ à frontière $\partial \Omega$ de classe $\mathcal C^1$. Soit $\mathbf n$ le vecteur
unitaire sortant à $\partial \Omega$. Plus précisément, si $\rho$ est une fonction définissante de $\Omega$ (ie si $\Omega=\{x\in\mathbb R^n;\
\rho(x)<0\}$ et $\nabla \rho$ ne s'annule pas), alors $\mathbf n=\frac{1}{\|\nabla\rho\|}\nabla \rho$. Si $u$ est une fonction de classe $\mathcal C^1$
au voisinage de $\partial \Omega$, on note $\frac{\partial u}{\partial \mathbf n}$ la dérivée normale de $u$ en un point de $\partial \Omega$,
c'est-à-dire $\frac{\partial u}{\partial \mathbf n}=\langle \nabla u,\mathbf n\rangle$.
Théorème : Soit $\Omega$ un ouvert borné de $\mathbb R^n$ à frontière $\partial \Omega$ de classe $\mathcal C^1$.
Soit $u,v$ deux fonctions de classe $\mathcal C^2$ dans $\overline{\Omega}$. Alors
- Première formule de Green :
$$\int_{\Omega}\Delta ud\lambda=\int_{\partial \Omega}\frac{\partial u}{\partial \mathbf n}d\sigma$$
où $d\lambda$ est la mesure de Lebesgue et $d\sigma$ la mesure euclidienne sur $\partial \Omega$.
- Deuxième formule de Green :
$$\int_{\Omega}\left(v\Delta u-u\Delta v\right) d\lambda=\int_{\partial \Omega}\left(v\frac{\partial u}{\partial \mathbf n}
-u\frac{\partial v}{\partial \mathbf n}\right)d\sigma.$$
Une formule de Green utile pour les fonctions harmoniques
Théorème : Soit $u$ une fonction définie sur un ouvert $U$ de $\mathbb R^2$, à valeurs dans $\mathbb R$. On pose
$z=x+iy$, et $D$ le disque de centre $z_0$ et de rayon $r>0$. Alors on a :
$$u(z_0)=\int_0^{2\pi}u(z_0+re^{it})\frac{d\theta}{2\pi}+\frac1{2\pi}\int\!\!\int_D\Delta u(z)\log\frac{|z-z_0|}r dxdy.$$
Ainsi, si le laplacien d'une fonction est nulle, elle vaut en un point la valeur moyenne prise sur un cercle de centre ce point : c'est la
propriété de la valeur moyenne vérifiée par les fonctions harmoniques.
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