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Déterminant de Gram

Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, et $(\overrightarrow{u_1},\dots,\overrightarrow{u_r})$ une famille de $r$ vecteurs de $E$. On appelle matrice de Gram de cette famille la matrice formée par tous les produits scalaires : $$\big(\langle u_i,u_j\rangle)_{1\leq i,j\leq r}.$$ Son déterminant, noté $\textrm{Gram}(\overrightarrow{u_1},\dots,\overrightarrow{u_r})$, est appelé le déterminant de Gram de $(\overrightarrow{u_1},\dots,\overrightarrow{u_r}).$

La matrice de Gram est toujours symétrique positive et la réciproque est fermée : toute matrice symétrique positive peut être interprétée comme une matrice de Gram. En outre, le déterminant est non nul si, et seulement si, la famille est libre, si, et seulement si, la matrice est définie. Surtout, les déterminants de Gram permettent de calculer des distances :

Théorème : Soit $V$ un sous-espace de $E$, muni d'une base $(\overrightarrow{e_1},\dots,\overrightarrow{e_r})$ (pas forcément orthonormale), et $\overrightarrow v$ dans $E$. Alors la distance $d$ de $\overrightarrow v$ à $V$ est donnée par : $$d^2=\frac{\textrm{Gram}(\overrightarrow{e_1},\dots,\overrightarrow{e_r},\overrightarrow v)}{\textrm{Gram}(\overrightarrow{e_1},\dots,\overrightarrow{e_r})}.$$

Ces propriétés s'étendent aux espaces préhilbertiens réels ou complexes.

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