Gradient
Soit $f$ une fonction définie sur un ouvert $U$ de $\mathbb R^n$ à valeurs dans $\mathbb R$ et soit $p\in U$. Lorsque $f$ est différentiable en $p$, on appelle gradient de $f$ en $p$ le vecteur : $$\nabla f(p)=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(p),\dots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(p)\right).$$
Le gradient a les interprétations géométriques suivantes :
- Si l'on est en dimension 2, l'ensemble des points $(x,y)$ vérifiant $f(x,y)=0$ est une courbe $(C).$ En un point $P$ de cette courbe qui est régulier (au sens où le vecteur gradient ne s'annule pas), la courbe $(C)$ admet une tangente en $P$, et le vecteur gradient est orthogonal à cette tangente.
- Si l'on est en dimension 3, l'ensemble des points $(x,y,z)$ vérifiant $f(x,y,z)=0$ est une surface $(S).$ En un point $P$ de cette surface qui est régulier, le vecteur gradient est orthogonal au plan tangent en $P$.
- Le gradient désigne aussi la direction où la pente est la plus grande. Précisément, en un point $p$ où $\nabla f(p)\neq 0$, alors, pour tout vecteur $u\in\mathbb R^n$ tel que $\|u\|=\|\nabla f(p)\|$, il existe $\delta>0$ vérifiant $$\forall t\in ]0,\delta[, f(x+tu)\leq f(x+t\nabla f(p)).$$
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