Indice de Gini
L'indice de Gini est un coefficient qui évalue la dispersion d'une série statistique. Il se définit en général à partir de la courbe de Lorenz d'une variable aléatoire positive $X$ définie sur une population. L'indice de Gini de $X$ est le double de l'aire de la surface délimitée par la courbe de Lorenz et la première diagonale du carré unité. Remarquons qu'il est toujours compris entre 0 et 1.
Il existe une autre formulation équivalente. Si $X$ est une variable aléatoire positive, l'indice de Gini de $X$ vaut la moitié de la moyenne des différences relatives normalisées : plus concrètement, l'indice de Gini de $X$ vaut $$\frac{E(|X_1-X_2|)}{2E(X)}$$ où $X_1$ et $X_2$ sont deux copies indépendantes de $X$.
Si $X$ est obtenu par une série statistique, ie si dans une population de $n$ individus, on a observé les valeurs $x_1,\dots,x_n,$ alors l'indice de Gini vaut $$\frac{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |x_i-x_j|}{2n^2m}$$ où $m$ est la moyenne arithmétique de $x_1,\dots,x_n,$ c'est-à-dire $$m=\frac{x_1+\cdots+x_n}n.$$
L'indice de Gini est très utilisé en économie comme mesure des inégalités dans une population. Supposons par exemple que la variable $X$ corresponde aux revenus dans une population. Si l'indice de Gini est proche de 0, ceci signifie que les différences relatives sont en moyenne faible par rapport à la moyenne des revenus : les inégalités dans la population sont faibles. Si l'indice de Gini est proche de 1, alors au contraire il y a de fortes différences relatives en moyenne : les inégalités sont fortes!
L'indice de Gini fait partie des données récoltées par l'Organisation
des Nations Unies lorsqu'elle dresse tous les ans un tableau du "développement humain" à travers le monde.
Voici la définition donnée en annexe de ce document (année 2005) : "Indice de Gini : Indique dans quelle mesure la répartition
du revenu (ou de la consommation) entre les individus
ou les ménages d’un pays s’écarte de l’égalité
parfaite. On construit pour cela une courbe de Lorenz
qui met en regard les pourcentages cumulés du revenu
total et les nombres cumulés de personnes percevant ce
revenu, en commençant par les individus ou les ménages
les plus pauvres. L’indice de Gini mesure la zone
située entre cette courbe de Lorenz et une droite hypothétique
représentant l’égalité absolue. La superficie
de cette zone est exprimée en pourcentage de l’espace
maximal situé sous cette ligne. Le chiffre 0 représente
cette égalité parfaite (hypothétique), et le chiffre 100 une
situation d’inégalité absolue." A titre indicatif, dans ce document,
l'indice de Gini de la Norvège est 25,8%, celui de la France est 32,7%,
celui des Etats-Unis 40,8%, celui du Brésil 59,3% et celui de la Namibie 70,7%...