Théorème de Gergonne

  Soit $ABC$ un triangle non aplati, $A'$ un point de la droite $(BC)$, $B'$ un point de la droite $(AC)$ et $C'$ un point de la droite $(AB)$. Si les droites $(AA')$, $(BB')$ et $(CC')$ sont concourantes en un point $I$, alors $$\frac{\overline{A'I}}{\overline{A'A}}+\frac{\overline{B'I}}{\overline{B'A}}+\frac{\overline{C'I}}{\overline{C'A}}=1.$$