$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Suites géométriques

Soit $a\neq 0.$ On appelle suite géométrique de raison $a$ une suite donnée par une relation de récurrence du type $u_{n+1}=au_n.$ On peut facilement calculer (par récurrence) le terme général d'une telle suite : pour tout $n\geq 0,$ $$u_n=a^n u_0.$$ On dispose aussi d'une formule pour la somme $S_n=u_0+\cdots+u_n$ : si $a=1$, on a $S_n=nu_0$. Dans le cas contraire, on a $$S_n=u_0\times\frac{1-a^{n+1}}{1-a}.$$ À partir du terme général, il est facile d'obtenir le comportement asymptotique de la suite :

$a>1$ La suite diverge vers plus ou moins l'infini suivant le signe du terme initial
$a=1$ La suite stationne au premier terme
$|a|<1$ La suite converge vers 0.
$a\leq -1$ La suite diverge, mais $\infty$ et $-\infty$ ne sont pas limite de la suite.

Sur l'activité Geogebra suivante, vous pouvez visualiser le comportement d'une suite géométrique en fonction de son premier terme et de sa raison.

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