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Bibm@th
Dictionnaire de mathématiques > Géométrie > Géométrie différentielle >

Géodésiques

Une courbe $C,$ tracée sur une surface $S,$ s'appelle une géodésique si, quelque soient les points $M$ et $N$ sur $C,$ le plus court chemin joignant $M$ à $N$ tout en restant sur la surface $S$ est obtenu en suivant $C.$

Pensons à la terre. Le plus court chemin pour aller du pôle nord au pôle sud est de suivre un méridien. Plus généralement, tout grand cercle (c'est-à-dire l'intersection de la sphère avec un plan passant par le centre) définit une géodésique de la sphère, et réciproquement toute géodésique de la sphère est un arc de grand cercle.

Plus formellement, un arc paramétré de classe $\mathcal C^2$ tracé sur une nappe paramétrée $S$ de classe $\mathcal C^2$ est une géodésique si, en tout point de l'arc, la courbure géodésique est nulle.

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