Générateurs d'un groupe
Soit $G$ un groupe. On dit qu'une partie $A$ de $G$ est génératrice de $G,$ ou engendre $G,$ si le plus petit sous-groupe de $G$ qui contient $A$ est $G$ tout entier. Autrement dit, $A$ engendre $G$ si, pour tout $g\in G$, il existe $n\in\mathbb N^*$ et $a_1,\dots,a_n\in A\cup A^{-1}$ tels que $g=a_1\cdots a_n$. On dit alors que :
- $G$ est monogène s'il est engendré par un seul élément, et cyclique si en plus il est fini. Par exemple, $\mathbb Z$ est monogène (engendré par $1$), et $\mathbb Z/n\mathbb Z$ est cyclique (fini et engendré par $\bar 1$).
- $G$ est de type fini s'il est engendré par un nombre fini d'éléments. $\mathbb Z^2$, l'anneau des entiers de Gauss $\{a+bi:\ a,b\in\mathbb Z\}$, sont des exemples de groupes de type fini qui ne sont ni monogènes, ni finis.
Proposition :
Soit $G$ un groupe fini d'ordre $n.$ Alors $G$ est cyclique si et seulement s'il admet un élément d'ordre $n.$
Exemple : Le groupe des inversibles de $\mathbb Z/n\mathbb Z$ est cyclique si et seulement si $n\in\{1,2,4\}$ ou $n = p^\alpha$ ou $n = 2p^\alpha,$ avec $p$ premier impair et $\alpha \in\mathbb N^*.$
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