Intégrale de Gauss

L'intégrale de Gauss est le nom donné à l'intégrale suivante, où $\alpha$ est un réel strictement positif : $$\int_{-\infty}^{+\infty}\exp\left(-\alpha x^2\right) dx= \sqrt{\frac\pi\alpha}.$$ Cette intégrale intervient notamment dans l'étude de la loi normale.

Si on travaille dans $\mathbb R^n,$ la formule se généralise sous la forme suivante : $$\int_{\mathbb R^n}\exp(-\alpha\|x\|^2)dx=\left(\frac\pi\alpha\right)^{n/2}$$ avec $x=(x_1,\dots,x_n)$ et $\|x\|=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}$.