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Décomposition de Gauss

La méthode de décomposition de Gauss est un algorithme qui permet, étant donnée une forme quadratique sur $\mathbb R^n$ de rang $r$, de l'écrire comme somme et différence de carrés de $r$ formes linéaires linéairement indépendantes. En particulier, la décomposition de Gauss permet de calculer la signature d'une forme quadratique réelle. Plus généralement, cette méthode fonctionne sur $\mathbb K^n$ où $\mathbb K$ est un corps de caractéristique différente de $2.$

Décrivons cette méthode. On écrit d'abord la forme quadratique dans une base : $$Q(x)=\sum_{i=1}^n a_{i,i}x_i^2+\sum_{1\leq i\neq j\leq n}a_{i,j}x_ix_j.$$

  • Premier cas : il existe un entier $i$ tel que $a_{i,i}$ n'est pas nul. On supposera pour fixer les idées qu'il s'agit de $a_{1,1}$ et nous noterons ce coefficient $a$. On peut alors écrire $Q$ sous la forme $$Q(x)=ax_1^2 +x_1B(x_2,\dots,x_n)+C(x_2,\dots,x_n)$$ où $B$ est une forme linéaire en $x_2,\dots,x_n$, et $C$ est une forme quadratique en les mêmes variables. Puis, on reconnait le début du développement d'un carré (mise sous forme canonique), et on écrit $$Q(x)=a\left(x_1+\frac{B(x_2,\dots,x_n)}{2a}\right)^2+C(x_2,\dots,x_n)-\frac{B(x_2,\dots,x_n)^2}{4a}.$$ On a donc écrit la forme quadratique comme somme du carré d'une forme linéaire et d'une forme quadratique où $x_1$ n'intervient plus. Il suffit alors de réitérer la méthode de Gauss avec $C-\frac{B^2}{4a}$.
  • Deuxième cas : tous les $a_{i,i}$ sont nuls. Si $Q$ est identiquement nulle, il n'y a bien sûr rien à faire. Sinon, un des $a_{i,j}$, disons $a=a_{1,2}$ est non nul, et on écrit $Q$ sous la forme : $$Q(x)=ax_1x_2+x_1B(x_3,\dots,x_n)+x_2C(x_3,\dots,x_n)+D(x_3,\dots,x_n)$$ où $B$ et $C$ sont des formes linéaires en $x_3,\dots,x_n$, et $D$ est une forme quadratique en les mêmes variables. On factorise alors sous la forme suivante $$Q(x)=a\left(x_1+\frac Ca\right)\left(x_2+\frac Ba\right)+\left(D-\frac {BC} a\right).$$ Puis on utilise que $uv=\frac14\big((u+v)^2-(u-v)^2\big)$ pour obtenir finalement $$Q(x)=\frac a4\left(x_1+x_2+\frac{B+C}a\right)^2-\frac a4\left(x_1-x_2+\frac{C-B}a\right)^2+\left(D-\frac{BC}a\right).$$ Il suffit alors d'itérer la méthode avec la forme quadratique $D-\frac{BC}a$ qui ne fait plus intervenir que $x_3,\dots,x_n$.
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